Numerické metody


Kód: NME1
Www: http://pi.fjfi.cvut.cz/html/joomla/index.php/en/vyuka/numericke-metody-prednaska
Hodiny:

Jsou vysvětleny základní principy numerické matematiky důležité pro numerické řešení fyzikálních a technických úloh. Vedle základních numerických úloh jsou zařazeny i problémy důležité pro fyziky (řešení obyčejných diferenciálních rovnic, generátory náhodných čísel). MATLAB jako integrovaný výpočetní systém slouží pro ukázky. Cvičení se konají v počítačové učebně. Je používán PASCAL jako základní programovací jazyk a dále se užívá MATLAB.

Obsah předmětu:

  1. Základy numerické matematiky  - reprezentace čísel v počítači, rozsah, zaokrouhlovací chyba, zaokrouhlovací chyba při aritmetických operacích, úprava výrazů, korektnost a podmíněnost úlohy, řád (přesnost) numerické metody, stabilita metody
     
  2. Numerické metody lineární algebry  - řešení systému lineárních rovnic, maticových rovnic, výpočet inverzní matice, determinantu, metody přímé, iterační, gradientní, Gaussova a Gauss-Jordanova eliminace, LU rozklad, iterační zpřesnění řešení nalezeného LU metodou, řešení soustavy s tridiagonální maticí, pojem řídké matice, iterační metody, Jacobiho metoda, Gauss-Seidelova metoda, úvod do problému vlastních čísel a vektorů - Jacobiho transformace pro symetrické matice, částečný problém vlastních čísel
     
  3. Třídění dat - řád metody, přímé vkládání, Shellova metoda, heapsort, tabulka indexů a tabulka pořadí, prohledávání setříděné tabulky
     
  4. Výpočet funkcí, interpolace a extrapolace, regrese - výpočet polynomů, mocninné řady a jejich užití, užití rekurentních vztahů, globální a lokální interpolace, pojem spline, Lagrangeův interpolační polynom, Nevilleův algoritmus, kubický spline, interpolace ve 2 dimenzích (spojitá lineární, bikubický spline), lineární regrese, metoda nejmenších čtverců
     
  5. Řešení nelineárních rovnic - separace a ohraničení kořenů, metoda půlení intervalů, metoda sečen, metoda regula falsi, Brentova metoda, Newton-Raphsonova metoda v 1D, speciální metody pro hledání kořenů polynomů, kořeny systémů rovnic, Newton-Raphsonova metoda v více dimenzích
     
  6. Hledání extrémů, optimalizace - lokální, globální a vázaný extrém, metoda zlatého řezu, parabolická interpolace, Brentova metoda, využití derivace při minimalizaci v 1D, metoda konjugovaných směrů a konjugovaných gradientů ve více D, Levenberg-Marquardtova metoda, lineární programování, simplexová metoda
     
  7. Integrace funkcí - klasické vzorce při rovnoměrném dělení 1D intervalu, použitelnost, zpřesňování výsledku integrace, Rombergův algoritmus, Gaussovy kvadratury, nevlastní integrály a integrály se singularitou, metody výpočtu vícerozměrných integrálů
     
  8. Integrace obyčejných diferenciálních rovnic - počáteční a okrajový problém, transformace rovnic vyšších řádů, Runge-Kuttovy metody, strategie adaptivní volby kroku, přednosti a problémy metod prediktor-korektor, Bulirsch-Stoer, pojem stiff rovnice, implicitni metody a jejich užití, řešení okrajové úlohy metodou střelby, řešení okrajové úlohy metodou sítí
 
Texty k přednášce "Numerické metody" jsou zde.
 
Poznámky a pokyny k předmětu NME z 15.2. 2011 jsou zde. 
 

Literatura:

  1. W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, V. H. Vetterling: Numerical Recipes in Pascal (The art of scientific computation), Cambridge University Press, Cambridge 1989. (identická kniha pro FORTRAN, 2.vydání 1993 a jazyk C, 2.vydání 1993)
  2. Z. Vospěl: Numerická analýza a programování II, Fakulta stavební ČVUT, 1992
  3. A. Ralston: Základy numerické matematiky, Praha, Academia 1973.
  4. B.P.Děmidovič, I.A. Maron: Základy numerické matematiky, Praha, SNTL 1966
  5. M. Nekvinda, J. Šrubař, J. Vild: Úvod do numerické matematiky, Praha,SNTL 1976
  6. P. Zörnig: Numerické metody, Fak. elektro ČVUT, 1989
  7. Anglické průsvitky k přednáškám prof. D. Karlena z katedry fyziky Carleton University, Ottawa, Kanada podle knihy Numerical Recipes)
Rozšiřující literatura:
  1. E. Hairer, S.P. Norsett, G. Wanner, Solving Ordinary Equations I (non-stiff problems), Springer, Berlin 1991 
  2. E. Hairer, G. Wanner, Solving Ordinary Equations II (stiff and differential-algebraic problems), Springer, Berlin, second edition 1993 
 
Odkazy na dostupný software a numerické knihovny
 
Komerční numerické knihovny
 
Integrované programové balíky
 
Počítačová hydrodynamika
 
Výuka numerických metod

Vyučující

Pavel Váchal

Zaměstnanec

Jiří Limpouch

Zaměstnanec