Diferenciální rovnice na počítači

Obyčejné diferenciální rovnice, analytické metody; Obyčejné diferenciální rovnice, numerické metody, metody Runge-Kuttovy, stabilita; Parciální diferenciální rovnice, analýza, rovnice hyperbolické, parabolické a eliptické, podmíněnost diferenciálních rovnic; Parciální diferenciální rovnice, numerické řešení, metoda konečných diferencí, diferenční schemata, řád aproximace, stabilita, konvergence, modifikovaná rovnice, difuse, disperze; Zákony zachování a jejich numerické řešení, rovnice mělké vody, Eulerovy rovnice, Lagrangeovské metody, ALE metody; Praktické výpočty v systémech Matlab pro numeriku a Maple pro analýzu schemat.

Osnova přednášek:

1. Obyčejné diferenciální rovnice, analytické metody, stabilita.
2. Obyčejné diferenciální rovnice, Runge-Kuttovy metody, funkce stability, obor stability, řád metody.
3. Obyčejné diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami.
4. Hyperbolické parciální díferenciální rovnice, charakteristiky, okrajové podmínky, metody konečných diferencí.
5. Konvergence, konzistence, podmíněnost, stabilita, Lax-Richtmyerova věta, Courant-Friedrichs-Lewyho (CFL) podmínka.
6. Fourierova analýza podmíněnosti a stability, von Neumannova podmínka stability.
7. Lax-Wendroffovo schema, implicitní schemata, řád přesnosti, modifikovaná rovnice, difuse, disperze.
8. Parabolické rovnice, diferenční schemata pro parabolické rovnice.
9. Eliptické rovnice, iterační metody řešení systémů lineárních rovnic.
10. Advekční rovnice ve 2D, metoda rozkladu, diferenční schemata.
11. Zákony zachování, integrální tvar, Rankine-Hugoniotova podmínka .
12. Burgersova rovnice, rovnice mělké vody, Eulerovy rovnice, rázová vlna, vlna zředění, kontaktní nespojitost, diferenční schemata.
13. Lagrangeovské metody pro Eulerovy rovnice, hmotnostní souřadnice.
14. Metoda ALE (Arbitrary Lagrangian-Eulerian), vyhlazení sítě, remapování.

Osnova cvičení:

1. Obyčejné diferenciální rovnice, analytické metody, stabilita.
2. Obyčejné diferenciální rovnice, návrh Runge-Kuttových (RK) metod.
3. Výpočet funkce a oboru stability RK metody, řád RK metody.
4. Diferenční schemata pro advekční rovnici, numerické ověření jejich vlastností - stability a řádu přesnosti.
5. Analytické určení řádu přesnosti diferenčního schematu.
6. Analytické určení podmínky stability Fourierovou metodou.
7. Analyticko-numerické určení podmínky stability Fourierovou metodou.
8. Výpočet modifikované rovnice diferenčního schematu.
9. Diferenční schemata pro parabolické rovnice - rovnici vedení tepla.
10. Diferenční schemata pro advekčně difusní rovnici.
11. Diferenční schemata pro eliptickou Poissonovu rovnici.
12. Test - návrh a analýza diferenčního schematu.
13. Diferenční schemata pro Burgersovu rovnice, rovnice mělké vody a Eulerovy rovnice.
14. Lagrangeovská schemata, metoda ALE.

 Povinná literatura:

• J.C. Strikwerda: Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations, Chapman and Hall, New York, 1989.

Doporučená literatura:

• R.J. LeVeque: Numerical Methods for Conservation Laws,Birkhauser Verlag, Basel, 1990.

Studijní pomůcky:

Počítačová učebna Linux s integrovanými matematickými systémy Matlab a Maple. Studijní materiály na http://www-troja.fjfi.cvut.cz/~liska/drp